مساحت استوانه چگونه محاسبه میشه؟

ترسیم شکل هندسی استوانه

استوانه، دو دایره موازی و هم اندازه در بالا و پایین داره و ارتفاع این شکل هندسی هم، همون فاصله بین این دو دایره‌ست. البته ممکنه این دو قاعده با هم موازی نباشن که در اون صورت بهش استوانه مایل میگیم. از طرفی هیچ اجباری نیست که قاعده این شکل حتما دایره باشه.

در بعضی مواقع قاعده استوانه رو شکل‌هایی مثل بیضی، هذلولی و یا سهمی قرار میدن. این استوانه دارای مساحت و حجم هست که شما با استفاده از فرمول مساحت استوانه و حجم استوانه، می‌تونین جواب دقیقی براشون پیدا کنین. در شکل زیر، گسترده یک شکل استوانه رو مشاهده می‌کنین.

محاسبه مساحت استوانه

یکی دیگه از فرمول‌هایی که خیلی مورد نیاز دانش‌آموزانه و لازمه که اون رو به خوبی بلد باشن، فرمول مساحت استوانه‌ست. برای این که بتونیم مساحت کل و مساحت جانبی استوانه رو به دست بیاریم، باید اول مساحت هر 3 وجهی که داره رو پیدا کنیم، یعنی دو تا دایره و یک طول با ارتفاع h به اندازه محیط دایره.

اگه بخوایم شعاع دایره رو r در نظر بگیریم و ارتفاع استوانه هم h باشه، مساحت استوانه با استفاده از فرمول زیر به دست میاد:

S = 2𝜋r²+2𝜋rh

برای این که بتونین راحت‌تر فرمول مساحت استوانه رو متوجه بشین، در ادامه مراحل به دست آوردن مساحت استوانه رو براتون توضیح میدیم:

قدم اول: محاسبه مساحت قاعده بالا و پایین

اگه استوانه رو یک قوطی فرض کنیم، وجه بالا و پایینش به شکل یک دایره‌ست و برای محاسبه مساحت بالا و پایین استوانه، باید مساحت دو تا دایره رو به دست بیاریم. معمولا در صورت سوال برای به دست آوردن مساحت دایره، شعاع به شما داده میشه، اما اگه قطر رو به شما داده باشه، کافیه اون رو بر 2 تقسیم کنین تا شعاع به دست بیاد. فرمول مساحت دایره میشه:

πr²

عدد پی هم که در این فرمول استفاده میشه حدود 3.14 هست و باید دو برابر شعاع رو ضرب در عدد پی کنین. از این طریق مساحت یکی از دایره‌های شما به دست میاد. برای به دست آوردن مساحت یکی دیگه از قاعده‌ها هم باید همین مراحل رو تکرار کنین.

قدم دوم: محاسبه مساحت سطح جانبی استوانه

دو تا قاعده استوانه توسط یک دیواره به هم متصل شدن. شعاع دیواره‌های استوانه با شعاع دایره‌های بالا و پایین برابره؛ اما یک تفاوت بین این دو وجه وجود داره. دایره‌ها ارتفاع ندارن ولی این دیواره یک ارتفاع داره که برای فرمول مساحت جانبی استوانه خیلی مهمه.

برای به دست آوردن مساحت جانبی استوانه باید محیط قاعده‌ها رو داشته باشین. برای به پیدا کردن محیط قاعده که در این استوانه همون دایره‌ست، در ابتدا باید شعاع دایره رو به دست بیارین و بعدش اون رو در 2π ضرب کنین. یعنی فرمول محیط دایره میشه:

2𝜋r

در نهایت برای این که فرمول به دست آوردن مساحت جانبی استوانه رو پیدا کنین باید اندازه ارتفاع دیواره‌ها رو در 2𝜋r ضرب کنین؛ پس برای محاسبه مساحت جانبی استوانه داریم:

2𝜋rh

قدم سوم: جمع مساحت سطح جانبی و مساحت دو قاعده

در مراحل قبلی شما قاعده و دیواره اطراف استوانه رو به طور جدا از هم فرض کردین و مساحت هر کدوم رو به دست آوردین. در این مرحله باید مساحت دو تا قاعده بالا و پایین و مساحت دیواره اطراف رو با هم جمع کنین. یعنی برای فرمول مساحت استوانه داریم:

2𝜋r²+2𝜋rh

مثال 1: با توجه به شکل رو به رو، مساحت استوانه قائم رو به دست بیارین.

1155.52 = 15 * 8 * 3.14 * 2 + 64 * 3.14 * 2 = S = 2𝜋r²+2𝜋rh

مثال 2: مساحت استوانه‌ای با شعاع 4 و ارتفاع 17 رو با کمک فرمول، پیدا کنین.

634.28 = 17 * 5 * 3.14 * 2 + 16 * 3.14 * 2 = S = 2𝜋r²+2𝜋rh

مثال 3: مساحت جانبی استوانه‌ای با شعاع 10 و ارتفاع 8 رو به دست بیارین.

502.4 = 8 * 10 * 3.14 * 2 = 2𝜋rh

مساحت استوانه مایل

در قسمت قبلی گفتیم که امکان داره استوانه ما به شکل قائم نباشه و کمی به شکل کج رسم شده باشه. حالا ممکنه سوال پیش بیاد براتون که اگه استوانه‌ای مایل براتون رسم کردن و مساحتش رو خواستن، از چه فرمولی باید استفاده کنین.

برای پاسخ به این سوالتون باید بگیم که نیازی به حفظ کردن فرمول جدید برای استوانه مایل نیست. شما برای محاسبه مساحت استوانه مایل کافیه که فرمول استوانه قائم رو بلد باشین؛ چون فرمول محاسبه مساحت این دو شکل با هم یکیه.

در شکل زیر، یک استوانه مایل رو مشاهده می‌کنین.

مثال: با استفاده از داده‌های سوال، مساحت استوانه مایل زیر رو دست بیارین.

1444.4 = 13 * 10 * 3.14 * 2 + 100 * 3.14 * 2 = S = 2𝜋r²+2𝜋rh

محاسبه حجم استوانه

برای این که بتونین حجم یک استوانه رو به دست بیارین، لازمه که ارتفاع و شعاع قاعده رو داشته باشین. البته گاهی به جای شعاع، قطر دایره رو به شما میدن که در این شرایط باید مقدار قطر رو تقسیم بر 2 کنین تا شعاع به دست بیاد.

با استفاده از شعاع و عدد پی، باید مساحت قاعده یک استوانه که فرض می‌کنیم دایره‌ست رو به دست بیاریم و بعدش در ارتفاع استوانه ضرب کنیم.

اگه شعاع دایره رو r در نظر بگیریم و ارتفاع استوانه h باشه، حجم استوانه از طریق فرمول زیر محاسبه میشه:

V = 𝜋r²h

مثال 1: حجم این استوانه رو با توجه به اطلاعات داده شده به دست بیارین.

3014.4 = 15 * 64 * 3.14 = V = 𝜋r²h

مثال 2: فرض کنین که قراره داخل استوانه زیر رو با پر از آب کنیم. اگه شعاع قاعده 6 متر و ارتفاعش 12 سانتی متر باشه، چه مقدار آب در این استوانه جا میگیره؟

1356.48 = 12 * 36 * 3.14 = V = 𝜋r²h

کلام آخر

ما در این مقاله فرمول حجم و مساحت جانبی استوانه رو با هم بررسی کردیم و همین‌طور خود فرمول مساحت استوانه رو هم براتون به طور کامل توضیح دادیم تا بتونین به صورت دقیق فرمول به دست آوردن مساحت استوانه رو یاد بگیرین. شما می‌تونین از این فرمول‌ها برای حل سوالات ریاضی و هندسه استفاده کنین.