تعداد اعداد گویا بیشتره یا اعداد گنگ

اعداد گویا و اعداد گنگ

ما توی این مقاله قصد داریم این موضوع را به صورت کامل بررسی کنیم که تعداد اعداد گویا بیشتره یا اعداد گنگ؟ همون‌طور که گفته شد، در طی تاریخ اعداد به دسته‌های مختلفی تقسیم شدن تا راحت‌تر بشه اون‌ها رو درک کرد. دسته‌هایی مثل اعداد حقیقی، اعداد موهومی، اعداد گنگ و کلی دسته دیگه که اعداد رو شامل میشن.

اعداد گنگ و گویا که قراره توی این مقاله در موردش صحبت کنیم، زیر مجموعه اعداد حقیقی هستن. البته اعداد حقیقی شامل دسته‌بندی اعداد صحیح و طبیعی هم میشه؛ ولی از اونجایی که این دو دسته، جزو اعداد گویا هم محسوب میشن، معمولا به اعداد حقیقی میگن حاصل ترکیب اعداد گویا و اعداد گنگ.

اعداد گویا چیست؟

اعداد گویا در علم ریاضیات، به اعدادی گفته میشه که از دو عدد صحیح که به شکل کسری نوشته شدن ساخته میشه. به طور مثال اگه عدد A و عدد B رو دو عدد صحیح در نظر بگیریم، کسر  زیر مجموعه اعداد گویا قرار می‌گیره.

البته باید گفت که عدد صفر، نمیتونه توی این کسر به عنوان مخرج قرار بگیره. با توجه به این کسر، تمامی اعداد صحیح، حسابی و طبیعی زیر مجموعه عدد گویا هستن.

نماد مجموعه اعداد گویا حرف انگلیسی Q است که مخفف کلمه ایتالیایی Quoziente به معنی خارج قسمته. این نماد توسط جوزپه پئانو که یک ریاضی‌دان ایتالیایی بوده انتخاب شده.

با توجه به توضیحات بالا، اگه بخواهیم مجموعه اعداد گویا رو به زبان ریاضی بیان کنیم به شکل زیر میشه:

شاید براتون جالب باشه که بدونین بین دو عدد گویا، بی‌نهایت عدد گویای دیگه وجود داره. این اعداد از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت وجود دارن و جزو مجموعه‌های نامتناهی حساب میشن.

اعداد گویا و اعمال اصلی ریاضی

چهار عمل اصلی ریاضی، مهم‌ترین وپایه‌ای‌ترین عمل‌ها در این علم هستن.

برای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم این اعداد باید از فرمول‌های زیر استفاده کنین:

جمع و تفریق

برای جمع و تفریق اعداد گویا، باید از مخرج مشترک استفاده کرد. به این شکل که مخرج کسر به دست اومده، حاصل ضرب مخرج هاست و صورت هرکسر در مخرج کسر دیگه ضرب میشه.

مثال:

ضرب

ضرب اعداد گویا خیلی ساده است. صورت‌ها در هم و مخرج‌ها در هم ضرب میشن.

مثال:

تقسیم

تقسیم اعداد گویا هم فرمول ساده‌ای داره. برای تقسیم این اعداد باید عدد اول، در معکوس عدد دوم ضرب بشه.

مثال:

اعداد گنگ چیست؟

توی علم ریاضیات، به تمام اعداد حقیقی که جزو اعداد گویا نباشن، اعداد گنگ گفته میشه. اعداد گنگ رو برعکس اعداد گویا، نمیشه به صورت کسر دو عدد صحیح نوشت.

اعداد گنگ، از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت ادامه دارن و مثل اعداد گویا، یک مجموعه نامتناهی محسوب میشن. بسط اعشاری این اعداد، بدون رقم تکرار شونده تا بی‌نهایت ادامه داره.

براساس منابع، گفته شده که کشف اعداد گنگ توسط هیپاسوس انجام شده. این ریاضی‌دان یونانی که توی قرن پنجم قبل از میلاد زندگی می‌کرده، فهمید که اگه مثلثی قائم‌الزاویه با دو ساق به طول 1 داشته باشیم، وتری به طول  ایجاد میشه که یک عدد گنگه.

کشفی که منجر به مرگ اون شده!

اون عضو گروهی به اسم فیثاغورثیان بود که باور داشتن جهان از اعداد صحیح تشکیل شده و از کشف اعداد گنگ ترسیده بودن. به همین خاطر هیپاسوس رو به دریا انداختن و اون رو به قتل رسوندن.

ویژگی‌های اعداد گنگ

• اگه یک عدد گنگ رو با یک عدد گویا جمع کنیم، عددی که به دست میاد گنگه. البته چیز دور از ذهنی نیست و بدیهیه 😁
• ضرب یک عدد گنگ با یک عدد گویا هم به نتیجه بالا می‌رسه. یعنی عدد به دست اومده یک عدد گنگه.
• این اعداد در حالت اعشاری تکرار ناپذیر هستن. یعنی رقم‌های بعد اعشار اون‌ها، الگوی خاصی نداره و تکرار یک رقم کاملا به صورت تصادفی اتفاق میفته.

اعداد گنگ معروف

بعضی از اعداد گنگ هستن که به خاطر داستان پشت‌شون و یا کاربرد مهم اون‌ها توی ریاضیات، نسبت به بقیه این اعداد معروف‌تر هستن. در ادامه چند مورد از این اعداد رو معرفی کردیم:

جذر عدد 2

این عدد که به زبان ریاضی به شکل  نوشته میشه، به خاطر سرنوشت کاشف اون، یا همون هیپاسوس، یکی از معروف‌ترین اعداد گنگ محسوب میشه.

به جذر عدد دو، ثابت فیثاغورس هم میگن که برابر ۱٫۴۱۴۲۱۳۵۶۲۳ است. البته این عدد تا بی‌نهایت ادامه داره و ما فقط به اندازه 10 رقم رو براتون نوشتیم.

عدد پی

از تقسیم محیط دایره به قطر اون، عدد پی به دست میاد که با  نمایش داده میشه. این عدد با ابر کامپیوترها تا تقریبا 60 تریلیون رقم کشف شده که اگه بخواهیم به صورت ده رقم اعشار نشونش بدیم میشه ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵ که تا بی‌نهایت ادامه داره.

شاید براتون جالب باشه که حفظ کردن عدد پی تا رقم‌های زیاد، توی گینس یک رکورد محسوب میشه! این رکورد هم دست شخصی به اسم هاراگوشی است که این عدد رو تا 83500 رقم حفظ کرده!!

عدد فی

این عدد که قدمتش به یونان باستان برمی‌گرده، به اسم نسبت طلایی هم شناخته میشه. این عدد، توی طبیعت به وفور پیدا میشه. توی پدیده‌هایی که به شکل مارپیچ وجود دارن میشه عدد فی رو پیدا کرد. مثل گرداب، کهکشان راه شیری، لاک حلزون، صدف و غیره.

مقدار این عدد برابر با 6180339887/1 است که تا بی‌نهایت ادامه داره. فی مخفف فیبوناچی است که یکی از ریاضیدانان مطرح جهان بوده.

عدد e یا نِپِر

عدد نپر هم یکی از مهم‌ترین اعداد گنگ دنیای ریاضیاته. کاشف این عدد، یک ریاضیدان سوئیسی به نام لئونارد اویلر بوده. عدد نپر برابر با 71182818284/2 است که مثل اعداد قبلی، تا بی‌نهایت ادامه داره.

اعداد گویا بیشتره یا اعداد گنگ

بعد از اینکه با اعداد گویا و اعداد گنگ آشنا شدین، وقت این رسیده که به پرسش اصلی مقاله پاسخ بدیم یعنی تعداد اعداد گویا بیشتره یا اعداد گنگ؟

این مسئله، به دو طریق قابل پاسخ‌دهی هستن که در ادامه براتون آوردیم. اما باید گفت که راه‌های دیگه‌ای هم برای این کار وجود داره که هر شخص با استفاده از خلاقیت و ابتکار خودش می‌تونه اون‌ها رو پیدا کنه.

جمع‌بندی درباره تعداد اعداد گویا بیشتره یا اعداد گنگ

توی این مقاله، سعی کردیم شما رو با اعداد گویا و اعداد صحیح آشنا کنیم و به این سوال پاسخ بدیم که تعداد اعداد گویا بیشتره یا اعداد گنگ.

ریاضیات علم خیلی بزرگیه و هرچقدر که ازش یاد بگیرین، باز هم بی‌نهایت مطلب هست که می‌تونین دنبال کنین و به علم خودتون روز به روز اضافه کنین.

به هر میزان که بتونین اطلاعات بیشتری کسب کنین میتونین به خیلی از سوالات مثل اینکه تعداد اعداد گویا بیشتره یا اعداد گنگ یا سایر سوالات جواب بدین.

به همین خاطر، اگه قصد این رو دارین که توانایی خودتون رو توی این علم زیاد کنین، بهتون پیشنهاد می‌کنیم که حتماً از بسته معلم خصوصی پرش استفاده کنین تا این دانش رو فراتر از کتاب‌های درسی خودتون یاد بگیرین و مهارت خودتون رو بالا ببرین.