نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم

قضایای مثلثاتی زوایای مهم اهمیت زیادی دارن و برای انتگرال گیری، رفع ابهام حد، حل معادلات و بسیاری موارد دیگه در کنکور ریاضی کاربرد دارن. در این مقاله نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم (Tan, Cos ,Sinو Cot) آموزش داده میشه. اما قبل از رفتن به سراغ بحث موارد زیر رو یادتون باشه:

• مرکز دایره مبدا محور مختصاته.
• شعاع دایره یکه.
• محور x یا افقی محور Cos هست.
• محور y  یا عمودی محور Sinهست.

تاریخچه نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم

در گذشته‌های دور ستاره شناس‌های سومری با تقسیم دایره به 360 درجه اندازه‌گیری زاویه رو مطالعه کردن. همچنین اون‌ها و بعدها بابلی‌ها نسبت‌های ضلع‌های مثلث رو مورد بررسی قرار دادن و برخی از خصوصیات این نسبت‌ها رو کشف کردن.

در قرن سوم پیش از میلاد ریاضیدان‌هایی از جمله اقلیدس و ارشمیدس زاویه‌های محاط در دایره رو مورد بررسی قرار دادن که نتیجه اون کشف فرمول‌ها و قضایایی معادل نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم در حال حاضر بود.

در قرن دوم میلادی ستاره شناس یونانی- مصری، بطلمیوس جداول مثلثاتی خودش رو تحت عنوان جدول بطلمیوس در کتاب آلماگست منتشر کرد. قرن‌ها بعد در دوران قرون وسطا این محاسبات به روز شد. در قرن دهم میلادی ریاضیدانان از تمامی تابع‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت) برای حل مسائل مربوط به هندسه مسطحه و کروی استفاده می‌کردن.

زمانی که محققان تاریخچه روابط مثلثاتی زاویه‌های مهم رو بررسی کردن متوجه شدن که این مبحث به سه هزار سال پیش از میلاد برمی‌گرده و با اسناد پیدا شده در کتیبه‌های سنگی مشخص شده که بیشترین کار در زمینه مثلثات به خواجه نصیرالدین طوسی بر می‌گرده.

همچنین عناوین و اصطلاحات مربوط به مثلثات رو خواجه نصیر الدین طوسی نامگذاری کرده که اول به عربی و بعدها به فرانسوی و زبان‌های دیگه ترجمه شده. بعد از خواجه نصیرالدین طوسی ریاضیدانانی مثلخوارزمی و ابوالوفا مطالعه مثلثات رو ادامه دادن.

تو قرن پانزدهم غیاث الدین جمشید کاشانی ریاضیدان و ستاره شناس ایرانی برای اولین بار یک توصیف واضح در مورد قانون کسینوس ارائه داد که همچنان در فرانسه این قانون با نام الکاشی شناخته میشه. از قرن هفدهم به بعد روابط مثلثاتی زاویه‌های مهم توسط ریاضیدانانی مثل آیزاک نیوتن، جیمز استرلینگ و لئونارد اویلر به روز شد و به شکل مدرن خودش رسید.

معرفی و اهمیت نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم

نسبت‌‌های مثلثاتی زوایای مهم از مفاهیم پایه‌ای و مهم ریاضی مانند فرمول محیط و مساحت اشکال هندسیه که در علوم مهندسی و ریاضی‌، دریایی و هوایی و بسیاری علوم دیگه کاربرد بسیاری داره. به طوری که با حذف مبحث مثلثات از این علوم، نقص بزرگی در حوزه‌های نام برده شده به وجود میاد.

حتی با حذف مفهوم مثلثات از ریاضی باید بخش بزرگی از فیزیک رو هم حذف کرد. نسبت‌های مثلثاتی در واقع به توابعی اطلاق میشن که رابطه بین زوایای داخلی مثلث‌های قائم‌الزاویه و نسبت اضلاع اون به همدیگه رو بررسی می‌کنن. نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس و تانژانت) به توابع مثلثاتی و روابط مثلثاتی هم معروف هستن.

دایره مثلثاتی

مبحث هندسه و روابط هندسی مخصوصا در بخش مثلثات باعث رشد علوم ریاضی در تحقیقات و در زندگی ما شده. مثلث یکی از اشکال پایه‌ای محسوب میشه و نقش مهمی در علم ریاضی داره. برای مثال یک مربع از دو مثلث تشکیل شده؛ مستطیل ترکیب دو مثلث به هم چسبیده‌ست و چند ضلعی از ترکیب چندین مثلث به وجود میاد. بنابراین میشه گفت که دایره و مثلث از پایه‌ای‌ترین و اصلی‌ترین اشکال هندسی هستن.

دایره مثلثاتی مبحثیه که قبل از ارائه هر فرمول و رابطه‌ای باید اون رو به خوبی یاد بگیرین و نسبت‌های مثلثاتی گام بعدی یادگیری شما خواهد بود. برای شروع این مبحث باید موارد زیر رو بدونین:

• در یک مثلث قائم الزاویه بزرگترین ضلع که رو به روی زاویه قائمه قرار داره وتره.
• کسینوس، ضلع مجاور بر وتره.
• تانژانت برابره با حاصل تقسیم ضلع رو به رو به ضلع مجاور
• کتانژانت عکس تانژانته، در واقع کتانژانت یک زاویه برابره با حاصل تقسیم ضلع مجاور به ضلع رو به رو.

تعاریف و مفاهیم بالا برای هر مثلث قائم الزاویه‌ای صدق می‌کنه. بنابراین قبل از وارد شدن به بحث روابط و نسبت‌های مثلثاتی و از بر شدن جدول مثلثاتی باید تعریف‌ها رو خوب یاد بگیرین و دایره مثلثاتی رو هم همینطور.

روابط مثلثاتی زوایای مهم و مهم‌ترین فرمول‌های مثلثاتی

در کل ریاضی با خط و نقطه شروع میشه. با خط میشه دو نقطه رو به هم متصل کرد و کوتاه‌ترین فاصله بین دو نقطه یک خط راسته. با خط میشه اشکال متفاوتی خلق کرد که یکی از اون‌ها مثلثه و ما در روابط مثلثاتی به مثلث نیاز داریم. از مهم‌ترین فرمول‌های مثلثاتی موارد زیره:

• Sin(-x) = – sinx
• Cos(-x) = cosx
• tg(-x) = – tgx
• cot(-x) = – cotx

فرمول‌های مثلثات 2 و 3 برابر کمان

مواردی وجود دارن که در اون سینوس یا کسینوس دو برابر کمان داده میشه و بسط اون خواسته میشه یا برای محاسبه حد و انتگرال و مشتق فرمول‌های زیر مورد نیازه:

1. Sin2x = 2sinx .cosx
2. Cos2x = 2cos²x-1

Cos2x = cos²x – sin²x

Cos2x = 1-2sin²x

3. Sin(3x) = 3sinx – 4sin³x
4. Cos(3x) = 4cos³x – 3Cosx

فرمول‌های مهم مثلثات تبدیل جمع به ضرب و ضرب به جمع

 

فرمول‌های بسط نسبت‌های مثلثاتی

 

کاربرد نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم در سایر علوم

جهت یابی

از مثلثات برای تعیین موقعیت‌های جغرافیایی در دریانوردی، کشتی ‌رانی و ناوبری به وسیله ابزارهایی مثل سیستم موقعیت یاب جهانی و هوش مصنوعی استفاده میشه.

افراد با استفاده از علم مثلثات می‌تونن بسیاری از مشکلات خودشون رو در جهت‌یابی موقعیت‌ها برطرف کنن. تسلط در این علم، عاملی مهم برای موفقیت افراد در زمینه‌های جهت‌یابی موقعیت‌های جغرافیاییه.

ستاره شناسی

در قرن‌های گذشته از قضایای مثلثات برای جهت یابی و یافتن مکان خورشید، ماه و ستاره‌ها و همینطور پیش‌بینی خورشید گرفتگی و ماه گرفتگی استفاده می‌شده. اما در حال حاضر از مثلثات برای محاسبه فاصله تا ستاره‌های مجاور و سیستم‌های ناوبری ماهواره‌ای استفاده میشه.

به طور کلی فرمول‌های مثلثاتی و زوایای مثلثاتی، تحولی بزرگ در علم ستاره‌شناسیه.

نقشه‌برداری

در نقشه‌برداری از زمین، برای محاسبه طول، مساحت و زوایای نسبی و در مقیاس بزرگتر برای محاسبه فاصله بین نشانه‌ها و نقشه‌کشی جغرافیایی از قضایای مثلثاتی زوایای مهم استفاده میشه.

موسیقی

میشه گفت که مثلثات، از اصول مهم در تئوری موسیقی به شمار میرن. امواج صوتی همواره بر اساس الگوهایی تکرارشونده جابه‌جا میشن؛ سینوس و کسینوس از جمله توابعی هستند که شیوه گسترس امواج مورد بحث رو توضیح میدن.

خوبه بدونین که منحنی سینوسی می‌تونه به تنهایی یک نت رو تعریف کنه و به این ترتیب، ترکیب چند منحنی معرف یک آکورد خواهد بود. اگه امواج صوتی رو به صورت منحنی‌های مورد نظر به تصویر بکشیم، می‌تونیم ساخت موسیقی در سیستم‌های رایانه‌ای رو به شکل مطلوب، به انجام برسونیم.

بدون شک برخلاف تصور خیلی از افراد، علم مثلثات در زمینه‌های گوناگون کاربرد‌های فراوونی داره. فرمول‌های مثلثاتی در علم موسیقی هم، جایگاه ویژه خودش رو داره.

الکترونیک

مهندسین الکترونیک هم معمولا برای شناخت رفتار سری‌ها، سیگنال‌ها و… از مثلثات کمک می‌گیرند. کاربرد نسبت‌های مثلثاتی در دنیای امروز، زیاده. برای مشاهده موارد بیشتر، در ادامه هم همراه ما باشین.

دیگر کاربردهای قضایای مثلثاتی

• هندسه
• تولید صوت
• معماری
• زیست شناسی
• نظریه اعداد و رمزنگاری
• لرزه شناسی
• هواشناسی
• گرافیک رایانه‌ای
• نقشه برداری
• کریستالوگرافی و تولید بازی‌های رایانه‌ای
• اقیانوس شناسی
• فشرده سازی تصویر
• آوایی
• اقتصاد
• مهندسی برق
• مهندسی مکانیک
• مهندسی عمران
• تصویربرداری پزشکی (سی تی اسکن و سونوگرافی)
• شیمی

بهترین روش برای یادگیری مثلثات چیه؟

مثلثات موضوعی بسیار چالش برانگیز در ریاضیاته که تعداد زیادی از دانش‌آموزان از درک اون عاجزن. مثلثات نه تنها در مقطع اول متوسطه، بلکه برای پایه یازدهم و دوازدهم اهمیت بسیار زیادی داره. البته مثلثات هر چقدر هم که سخت به نظر برسه، باز هم با تکرار و تمرین و یادگیری نکات مهم در مطالعه مثلثات میشه به راحتی از پس این مبحث براومد.

به طور کلی، دانش‌آموزان در هر پایه تحصیلی که هستن باید به این موضوع مهم توجه کنن که تکرار مطالب آموزشی، راهی برای یادگیری بهتر مطالب درسیه. ریاضی یک درس کاملا مفهومیه که دانش‌آموزان تنها با استمرار در مطالعه می‌تونن مطالب اون رو درک کنن. با توجه به اهمیت درس ریاضی و فرمول‌های مثلثات، گروه آموزشی پرش با ارائه یک پکیج آموزشی یادگیری فرمول‌های مثلثاتی رو برای دانش‌آموزان راحت‌تر کرده.

اگه بتونین رابطه بین اضلاع و زوایا رو یاد بگیرین و فرمول‌ها رو درک کنین، به راحتی غول مثلثات رو شکست میدین. در ادامه با بهترین روش یادگیری مثلثات آشنا خواهید شد. پس با ما همراه باشین.

از معادلات سخت شروع کنین

در معادلات ریاضی دو طرف وجود داره؛ به سمت راست معادله RHS و به سمت چپ اون LHS گفته میشه. یکی از بهترین تکنیک‌های یادگیری مثلثات و حل مسائل اون، اینه که همیشه از سمت سخت معادله شروع کنین؛ فرقی نمی‌کنه که سمت راست یا سمت چپ باشه. کسرها و مجهول رو به ساده‌ترین شکل ممکن ساده کنین و در نهایت ببینین که چه چیزی براتون باقی مونده.

چرا از طرف سخت معادله شروع کنیم؟ اول اینکه ذهن شما تازه نفسه و توان بیشتری برای مقابله با سوالات سخت داره. دوم اینکه با حذف قسمت‌های اضافی معادله به نتیجه نهایی نزدیک‌تر میشین. اینطوری از سوال خیلی سخت به یک معادله پیش پا افتاده می‌رسین.

اصول پایه مثلثات رو به خوبی یاد بگیرین

همه ما قبول داریم که مثلثات سخت و تا حدی پیچیده‌ست. به هر حال برای رسیدن به هدف باید از سد اون عبور کنیم. همه سوالات، فرمول‌ها، قضایا و برهان‌ها در مثلثات از چند اصل بنیادی نشات می‌گیرن. اگه بتونین صفر تا صد نکات این دو اصل مهم رو یاد بگیرین، حل سوالات مثلثات مثل آب خوردن میشه:

• مثلث قائم الزاویه: مثلثیه که یکی از زوایای اون 90 درجه باشه. دو زاویه دیگر اندازه‌های متفاوتی دارن. طولانی‌ترین ضلع هیپوتنوز نامیده میشه که با جمع کردن مجذور طول دو ضلع باقی‌مونده میشه مقدار اون رو به دست آورد. از پرش به شما نصیحت؛ مثلث قائم الزاویه رو دست کم نگیرین!
• سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت: تمامی فرمول‌ها و سوالات مثلثات با همین چهار مفهوم ساده قابل حل هستن. اگه با فرمول‌های اون مشکل دارین یا یادگیری اون‌ها براتون سخته، بهتره شب‌ها قبل از خواب یا در مسیر رفت و آمد فرمول‌های مثلثات رو مرور کنین. حل سوالات تشریحی هم به شما کمک بسیار زیادی می‌کنه.

به سینوس و کسینوس برگردین

همونطور که در قسمت‌های بالا دیدین، تمامی فرمول‌های سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت به همدیگه مربوط میشن. اگه به یک مسئله غیرقابل حال برخوردین، بهتره طرفین معادله رو به یک متغیر تبدیل کنین. مثلا اگه در معادله هم سینوس دارین، هم تانژانت و هم کتانژانت، تمامی کسرها رو در صورت امکان به سینوس ساده کنین.

اینطوری به یک عبارت استاندارد می‌رسین. از طرفی کاهش تعداد متغیرها به شما کمک می‌کنه تا دید ساده‌تری به مسئله داشته باشین و گیج نشین.

یک مسئله و هزاران راه حل!

حل سوالات مثلثات یک هنره و اغلب راه‌های مختلفی برای رسیدن به نتیجه وجود داره. بعضی از راه حل‌ها خیلی کاربردی و بعضی دیگه گیج‌کننده هستن. اما نکته مهم اینه که از هر راهی که به جواب برسین باز هم نمره مد نظری می‌گیرین. اینجاست که بحث مدیریت زمان مطرح میشه.

اگه یک مسئله 3 راه حل مختلف داره، همه سه راه حل رو بررسی کنین و ببینین استفاده از کدومش منطقی‌تره. البته در قدم‌های اول یادگیری مثلثات از هر روشی که به ذهنتون می‌رسه استفاده کنین. منتظر نباشین که به راه ساده‌تری برسین. شجاعت داشته باشین و اولین ایده‌های خودتون رو بیان کنین.

به فرمول‌های مهم توجه کنین

تو مثلثات برخی از فرمول‌ها از بقیه کاربردی‌تره و در مسائل بیشتری مورد استفاده قرار می‌گیرن. یکی از این فرمول‌ها، معادله فیثاغورثه. به شما پیشنهاد می‌کنیم که این معادله و فرمول‌های مشتق شده از اون رو به خوبی یاد بگیرین.

دانش‌آموزان با تسلط در فرمول‌های اصلی می‌تونن تمامی مطالب رو به شکل مفهومی‌تری یاد بگیرن.

تمرین، تمرین و تمرین!

همه روش‌های یادگیری مثلثات در صورتی کاربرد دارن که شما به طور مستمر مطالعه و تمرین کنین. هیچ تکنیکی برای رسیدن به تسلط صد در صد در مثلثات بدون تمرین وجود نداره.

ما در دنیای ماتریکس زندگی نمی‌کنیم که با انتقال یکباره اطلاعات به مغز همه چیز رو یاد بگیریم! ما انسان هستیم و در دنیای واقعی برای رسیدن به اهداف باید تلاش کنیم. شما هم این اصل مهم در یادگیری رو به هیچ عنوان فراموش نکنین. حل روزانه چند تست می‌تونه کمک ویژه‌ای به ارتقای توانمندی‌های شما بکنه.

بهترین روش برای یادگیری بهتر مطالب ریاضی، تکرار و استمرار در یادگیریه؛ بهتره که دانش‌آموزان عزیز در هر پایه تحصیلی که هستن به صورت روزانه مطالب آموزشی رو تکرار کنن.

جمع‌بندی درباره نسبت‌های مثلثاتی

تو این مقاله یادگرفتیم که بعد از آشنایی با مثلثات یادگیری قضایا و نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم مورد بحث قرار می‌گیرن. همچنین بسیاری از مسائل حوزه مهندسی، برق، مکانیک و عمران با استفاده از مثلثات قابل حل و بررسیه. همچنین در شیمی فضایی هم مثلثات کاربرد گسترده‌ای داره.