فرمول‌های محیط و مساحت اشکال هندسی

اهمیت فرمول‌های هندسه بیشتر از چیزیه که تصور می‌کنین. خیلی از دانش‌آموزان فرمول‌های محیط و مساحت اشکال هندسی رو به دلایل مختلف فراموش می‌کنن.

یادگیری اصول و پایه هندسه اولین قدمیه که باید بردارین تا توی سال‌های آینده به همراه افزایش حجم درس‌ها با مشکل مواجه نشین.

دانش‌آموزان رشته ریاضی-فیزیک باید توجه بیشتری به این موضوع داشته باشن. می‌دونیم که یادگیری ریاضی دغدغه شماست و بعضی از مفاهیم و فرمول‌ها به شدت پیچیده هستن.

توی این مقاله سعی کردیم تا مهم‌ترین فرمول‌های هندسه و راه‌های یادگیری سریع اون‌ها رو بیان کنیم.

همچنین یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی در سال‌های بعد از دیگر روش‌های محاسبه اندازه اشکال هندسی چند بعدیه که توی مقاله دیگه‌ای به اون می‌پردازیم.

منظور از محیط و مساحت اشکال هندسی چیه؟

محیط و مساحت اشکال هندسی توی ریاضیات، دو ویژگی مهم اشکال دو بعدی به شمار میرن.

محیط اشکال هندسی، فاصله مرز شکل رو مشخص می‌کنه، در حالی که مساحت اشکال هندسی، ناحیه اشغال شده توسط اون رو شرح میده.

این دو ویژگی، مفاهیم مهمی توی ریاضیات هستن که هر کسی باید اون‌ها را بلد باشه.

نکته قابل‌ توجه اینه که محیط و مساحت برای هر شکل و اندازه‌ای اعم از منظم یا نامنظم قابل استفاده‌ست.

هر شکلی فرمول، مساحت و محیط خاص خودش رو داره. در ادامه به ‌طور خاص این دو ویژگی رو برای درک مفهومی هر یک به تفصیل توضیح دادیم:

مفاهیم مساحت اشکال هندسی

مساحت شکل‌های هندسی، به ناحیه‌ای اطلاق میشه که توسط هر شکل محدود شده. فضای پوشیده شده توسط هر شکل هندسی دو بعدی، در یک صفحه، مساحت شکل به حساب میاد.

مساحت همه اشکال به ابعاد و خواص اون‌ها بستگی داره. اشکال مختلف دارای نواحی مختلف هستن. بدیهیه که مساحت دایره با مساحت لوزی متفاوته.

اگه دو جسم دارای شکل مشابهی باشن، لزوما مساحت اون‌ها برابر نیست، مگر اینکه ابعاد هر دو شکل نیز برابر باشه.

فرض کنین، دو جعبه مستطیل، با طول L1 و L2 و عرض B1 و B2 وجود داره. بنابراین مساحت هر دو جعبه مستطیل شکل، مثلاً A1 و A2 برابر خواهد بود؛ فقط اگه L1=L2 و B1=B2 باشه.

مفاهیم محیط اشکال هندسی

محیط اشکال هندسی به عنوان کل فاصله اطراف هر شکل تعریف میشه. در واقع، محیط به طول هر شکلی گفته میشه که به صورت خطی به هم وصل شدن.

محیط، یک فاصله کلیه که یک شکل رو در یک صفحه 2 بعدی در بر می‌گیره.

محیط اشکال مختلف بسته به ابعاد اون‌ها می‌تونه از نظر طول با همدیگه مطابقت داشته باشه.

به‌عنوان مثال، اگه یک دایره از یک سیم فلزی به طول L ساخته شده باشه، از همون سیم می‌تونیم مربعی بسازیم که طول اضلاع اون برابر باشه.

فرمول‌های محیط و مساحت انواع اشکال هندسی

1) مساحت مربع = یک ضلع × خودش؛

محیط مربع = 4 × یک ضلع؛

2) مساحت مستطیل = طول × عرض؛

محیط مستطیل = 2 × (طول + عرض)؛

3) مساحت مثلث = 2÷ (قاعده × ارتفاع)؛

محیط مثلث = مجموع سه ضلع؛

4) مساحت مثلث متساوی الاضلاع = 2÷ (قاعده × ارتفاع)؛

محیط مثلث متساوی الاضلاع = 3 × یک ضلع؛

5) مساحت مثلث متساوی الساقین = 2÷ (قاعده × ارتفاع)؛

محیط مثلث متساوی الساقین= مجموع سه ضلع؛

6) مساحت مثلث قائم الزاویه = 2÷ (قاعده × ارتفاع)؛

محیط مثلث قائم الزاویه = مجموع سه ضلع؛

7) مساحت ذوزنقه = نصف ارتفاع × (قاعده بزرگ + قاعده کوچک)؛

محیط ذوزنقه = مجموع چهار ضلع؛

8) مساحت لوزی = 2÷ (قطر بزرگ × قطر کوچک)؛

محیط لوزی = 4 × یک ضلع؛

9) مساحت بیضی = (نصف قطر بزرگ × نصف قطر کوچک ) ×3/14؛

10) مساحت دایره = عدد پی (3/14 ) × شعاع × شعاع؛

محیط دایره = عدد پی ( 3/14 ) × قطر؛

محیط دایره = شعاع × عدد پی (3/14)×2؛

11) مساحت کره =  شعاع به توان دو ×3/14 × 4؛

حجم کره = شعاع به توان سه × 3/14 × چهار سوم؛

12) مساحت متوازی الاضلاع = قاعده × ارتفاع؛

محیط متوازی الاضلاع = 2 × مجموع دو ضلع متوالی؛

13 ) محیط چند ضلعی منتظم = طول یک ضلع × تعداد اضلاعش؛

14) مساحت جانبی استوانه = محیط قاعده × ارتفاع؛

سطح کل استوانه = مساحت دو قاعده + مساحت جانبی (مساحت مجموع دو قاعده + ارتفاع × محیط قاعده)؛

15) مساحت جانبی منشور = مجموع مساحت سطوح جانبی؛

مساحت کلی منشور = مجموع مساحت دو قاعده + مجموع مساحت سطوح جانبی.

از تاریخچه هندسه چی می‌دونین؟

هندسه از کلمه یونانی “geometron” گرفته شده؛ حالا geometron به چه معناست؟ geo به معنی زمین و metron معنی اندازه‌گیری میده.

مطالعه هندسه به زمان‌های بسیار دور و باستانی بر‌می‌گرده که در تمام تمدن‌ها از جمله مصر، بابل، هند، چین، یونان و… مورد بررسی قرار می‌گرفت.

عجیب هم نیست، هندسه در زندگی ما نقش اساسی ایفا می‌کنه.

شاید دانش‌آموزان با این موضوع موافق نباشن؛ اما واقعیت رو باید پذیرفت!

همین اهرام مصر که سالانه میلیون‌ها بازدیدکننده داره، جلوه‌ای زیبا از کاربرد هندسه‌ست. حدود 2900 سال قبل از میلاد اولین هرم مصر ساخته شد.

دانش هندسه برای ساختن اهرام که از یک قاعده مربع و وجه‌های مثلثی تشکیل شده بودن، ضروری بود.

اولین استفاده از علم هندسه

هندسه در ابتدا مجموعه‌ای از قوانین برای محاسبه طول، مساحت و حجم بود. بسیاری از اون‌ها تقریب‌های خامی بودن که از طریق آزمون و خطا به دست اومدن.

این دانش که توسط بابلی‌ها و مصری‌ها در ساخت و ساز، دریانوردی و نقشه برداری مورد استفاده قرار گرفت، سرانجام به یونانیان منتقل شد.

البته افتخار کشف فرمول‌های هندسه مدرن متعلق به بابلی‌ها نبود، بلکه یونانی‌‌ها بودن که با استفاده از دانش به دست اومده از بابلی‌ها و مصری‌ها، هندسه رو گسترش دادن.

سرآغاز هندسه مدرن

یونانیان باستان (600 قبل از میلاد – 400 پس از میلاد) بودن که اصول هندسه مدرن رو به کمک تالس میلتوس (624-547 قبل از میلاد) توسعه دادن.

آوردن علم هندسه از مصر به یونان رو به تالس نسبت میدن. تالس مثلث‌های مشابه رو مطالعه و اثبات کرد که اضلاع متناظر مثلث‌های مشابه با هم تناسب دارن.

پس برای یادگیری مثلث‌های متشابه باید از تالس تشکر کنین!

پایه گذار علم هندسه کی بود؟

البته فیثاغورث به عنوان اولین ریاضیدان محض شناخته میشد که به طور منطقی مسائل هندسی رو از اصول اولیه استنتاج کرد. اون مکتبی رو ابداع کرد که به معرفی ریاضیات و فلسفه می‌‌پرداخت.

برخی مکتب فیثاغورث رو مهد عقل و اندیشه منطقی می‌دونن. فیثاغورث وظیفه خودش رو از دنیای علم و ریاضی با معرفی قضیه فیثاغورث ادا کرد؛ همون موضوعی که بیشتر دانش‌آموزان از اون فراری هستن!

اقلیدس پدر هندسه مدرن

اقلیدس (325–265 قبل از میلاد) یکی از بزرگترین هندسه‌دانان یونانی بود و بسیاری اون رو «پدر هندسه مدرن» می‌دونن و بزرگ‌ترین دستاورد اون تالیف کتاب اصول اقلیدس بود.

اصول اقلیدس اساس هندسه مدرن رو تشکیل میده که امروزه هنوز در مدارس تدریس میشه.

پیشرفت اصلی علم هندسه به خاطر کی بود؟

تا زمان ظهور رنه دکارت (1596-1650) هیچ پیشرفت چشمگیری در هندسه دیده نشد. از همه این ها هم که بگذریم، میرسیم به فراکتال! جدیدترین پیشرفت در هندسه، فراکتاله.

فراکتال توسط بنوا مندلبرو در کتاب هندسه فراکتال طبیعت در سال 1982 توسعه پیدا کرد.

فراکتال ساختاری هندسیه که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همون ساختار نخستین به دست بیاد. البته یادگیری اون در مقاطع بالاتر ارزش داره.

تعاریف پایه هندسه؛ اولین گام یادگیری دنیای اشکال

قبل از اینکه سراغ فرمول‌های اشکال بریم، بهتره اساس و بدیهیات دنیای هندسه رو بلد باشیم. شاید در نگاه اول خیلی ساده باشن و اصلا نیاز به تعریف وجود نداشته باشه. اما در هندسه لازمه هر چیزی رو به اثبات برسونین؛

هر چیزی که می‌بینین و به درست بودن اون شک ندارین! در ادامه مقاله به شرح بدیهیات و مفاهیم پایه دنیای هندسه می‌پردازیم.

• خط راست: خطی که از دو سمت بازه و می‌تونیم اون رو امتداد بدیم.
• نیم خط: خط راستیه که از یک سمت بسته و از سمت دیگه باز و نامحدوه.
• پاره خط: خطی که دو طرف اون بسته و طولش قابل محاسبه‌ست.
• ضلع: به پاره خط‌هایی که شکل هندسی رو می‌سازن ضلع می‌گن.
• راس: راس نقطه‌ایه که دو پاره خط رو در یک شکل هندسی به هم متصل می‌کنه. در هر شکل هندسی تعداد اضلاع با تعداد راس‌ها برابره.
• زاویه: به محدوده بین دو پاره خط یا دو نیم خط که هم راس باشن زاویه می‌گن.
• زاویه تند یا حاده: زاویه‌ای که اندازه اون بین 0 تا 90 درجه باشه.
• زاویه قائم: زاویه 90 درجه رو راست یا قائم می‌گن.
• زاویه باز یا منفرجه: زاویه‌ایه که بین 90 تا 180 درجه باشه.
• زاویه نیم صفحه: زاویه 180 درجه، زاویه نیم صفحه نامیده میشه.
• زاویه تمام صفحه: به زاویه 360 درجه تمام صفحه می‌گن.
• نیمساز: پاره خط یا نیم خطی که زاویه رو به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کنه.
• درجه: واحد اندازه گیری زاویه درجه‌ست. درجه از 0 تا 360 وجود داره.
• ارتفاع: خط عمودی که یک راس رو به یک خط وصل می‌کنه و معمولا با h نشون داده میشه.
• قطر: پاره خطی صاف که دو نقطه از محیط دایره رو به هم متصل کرده و از مرکز دایره می‌گذره.
• مرکز دایره: نقطه‌ای در وسط دایره که هر نقطه روی محیط دایره از اون فاصله‌ای برابر داره. مرکز دایره با d نشون داده میشه.
• شعاع دایره: به فاصله هر نقطه روی محیط دایره تا مرکز دایره شعاع می‌گن. در واقع شعاع نصف قطر یک دایره‌ست و با r نمایش داده میشه.
• محیط: به دور تا دور یک شکل هندسی محیط اون شکل می‌گن. برای محاسبه محیط یک شکل کافیه تمام اضلاع اون شکل رو با هم جمع کنیم.
• مساحت: سطح و فضای داخل یک شکل هندسی دو بعدی مساحت اون شکل نام می‌گیره. مساحت در واقع کف و سطح یک شکله.

بررسی فرمول‌های محیط و مساحت اشکال هندسی

حالا که با مفاهیم اولیه هندسه آشنا شدین، سراغ فرمول‌های مهم هندسی می‌ریم. البته بیشتر تمرکزمون بر مبحث محیط و مساحته. بیشتر از این هم در دوران متوسطه چندان به کار شما نمیاد.

همونطور که می‌دونید، محیط به دور تا دور یک شکل هندسی گفته میشه و برای محاسبه محیط یک شکل کافیه تمام اضلاع اون شکل رو با هم جمع کنیم.

سطح و فضای داخل یک شکل هندسی دو بعدی مساحت اون شکل نام داره.

به بیان دیگه مساحت کف و سطح یک شکل رو شامل میشه.

توی این بخش با فرمول مساحت و محیط شکل‌هایی مانند دایره، مثلث، مربع، مستطیل، بیضی، منشور و استوانه آشنا خواهید شد که در اکثر سوالات هندسه به کار می‌رن.

بودجه‌بندی هندسه مقطع دوم متوسطه

از همون پایه دهم با مباحث ساده هندسی آشنا میشین. در مقطع اول متوسطه این دانش گسترش پیدا می‌کنه و در دوره دوم به طور ویژه و اختصاصی به مطالعه هندسه می‌پردازین.

این موضوع برای دانش‌آموزان رشته ریاضی اهمیت بیشتری داره، زیرا برخی از رشته‌های دانشگاهی اون‌ها به طور مستقیم با هندسه در ارتباطه.

در ادامه با مباحث هندسه دهم، یازدهم و دوازدهم ریاضی بیشتر آشنا میشین.

هندسه دهم ریاضی

هندسه یکم به عنوان اولین کتاب تخصصی هندسه در مقطع دوم متوسطه به خوبی مسائل ترسیم‌های هندسی، قضیه تالس و تشابه، چند ضلعی‌ها و تجسم فضایی رو پوشش میده.

در این بخش با حل فعالیت‌ها، کار در کلاس، مثال و تمرین به تسلط خوبی دست پیدا می‌کنین. البته برای صد زدن در آزمون‌ها تنها کتاب درسی کافی نیست و استفاده از منابع کمک آموزشی هم پیشنهاد میشه.

هندسه یازدهم ریاضی

مباحث هندسه یازدهم اندکی تخصصی‌تر می‌شن. در این پایه با مباحث دایره، تبدیل‌های هندسی و روابط طولی در مثلث بیشتر آشنا میشین.

روابط طولی مثلث از بخش‌های مورد علاقه طراحان کنکوره که هر ساله سوالات زیادی از اون طرح میشه.

هندسه دوازدهم ریاضی

رسیدیم به حساس‌ترین نقطه مقطع دوم متوسطه یعنی پایه دوازدهم! ماتریس و کاربردها، آشنایی با مقاطع مخروطی و بردارها از مباحث مهم هندسه دوازدهم هستن که سهم بیشتری در کنکور دارن.

در پایه دوازدهم هندسه و ریاضیات عددی بیشتر ترکیب شدن و طبعا ذهن داوطلبان رو بیشتر به چالش می‌کشه. البته یادگیری اون چندان سخت نیست و تنها به تکرار و تمرین زیاد نیاز داره.

یادگیری فرمول‌های محیط و مساحت در کوتاه‌ترین زمان

بسیار خب، مجموعه‌ای کامل از مهم‌ترین فرمول‌های هندسه در اختیار شماست.

الان نوبت یادگیری می‌رسه! با توجه به تعداد بالای فرمول‌های اشکال هندسی و شباهتشون به همدیگه ممکنه یادگیری اون‌ها سخت باشه.

به لطف وجود پرش نکاتی رو می‌آموزین که در کمترین زمان ممکن صفر تا صد فرمول‌های محیط و مساحت رو از بر خواهید شد.

بدون شک حفظ کردن فرمول‌ها و به کارگیری اون‌ها در مسائل یکی از مهم‌ترین چالش‌های پیش‌روی دانش‌آموزان؛ بهتره که دانش‌آموزان با یادگیری راهکار‌های اصولی این مشکل رو برای همیشه برطرف کنن.

ما در این قسمت تکنیک‌ها و نکات مهم حفظ فرمول رو به صورت دقیق بررسی می‌کنیم. پیشنهاد می‌کنیم برای یادگیری بهتر این موضوع تا ادامه مطلب همراه ما باشین.

تمرین و تکرار برای حفظ فرمول‌‌ها

اولین قدم برای یادگیری بهتر فرمول مساحت و محیط اشکال هندسی، تکرار و تمرینه. شما باید بدونید که تکرار و تمرین بهترین راه برای یادگیری فرمول‌های هندسیه.

شما با انجام تمرین‌های مختلف می‌تونید مساحت شکل‌های هندسی و فرمول‌های اون رو به صورت مفهومی یاد بگیرین و همچنین، با چالش‌های مختلف حل فرمول‌های محیط آشنا بشین.

سعی کنین فرمول‌ها رو به صورت نمودار برای خودتون در نظر بگیرین. یادگیری فرمول‌های مادر به شما کمک می‌کنه که فرمول‌های وابسته رو بهتر بشناسین.

این روش کاملا تضمینی بوده؛ اما، به زمان نسبتا بیشتری نیاز داره.

شبیه‌سازی فرمول‌های ریاضی

یکی دیگه از روش‌های حفظ فرمول و یادگیری مفهومی اون، شبیه‌سازیه. در این روش شما باید خلاقیت به خرج بدین و فرمول‌ها رو در ذهنتون شبیه‌سازی کنین.

سعی کنین برای یادگیری فرمول‌های محیط و مساحت از شعر استفاده کنین؛ همون کاری که تعداد زیادی از دانش‌آموزان برای یادگیری جدول تناوبی عناصر انجام میدن.

انجام این کار باعث میشه که دانش‌آموزان به صورت کاملا مفهومی و همیشگی این موضوعات رو در ذهنشون ثبت کنن.

درک مفهومی و دقیق فرمول‌ها

بهتره که برای درک بهتر فرمول‌های هندسی، از حفظ کردن پرهیز کنین! زمانی که شما فرمول‌های مختلف رو حفظ می‌کنین؛ بدون شک، در زمان کوتاهی نیز همون مطالب رو فراموش می‌کنین.

سعی کنین در هر قسمت با نحوه کار فرمول‌ها آشنا بشین؛ و به صورت دقیق هر قسمت رو در حافظه‌تون ثبت کنین.

شکل فرمول ‌‌رو با اضافه کردن متغییر‌های مختلف تغییر بدین، معادله رو به چالش بکشین؛ اما، به هیچ عنوان رابطه ریاضی رو حفظ نکنین.

توجه به بخش‌های مشترک فرمول‌ها

زمانی که شما یک فرمول جدید یاد می‌گیرین باید تمام تمرکزتونو بر روی یادگیری اون فرمول بذارین. برای این کار یکی از راه حل‌های پیشنهادی ما به شما اینه که فرمول رو بنویسین.

تا اونجایی که کامل اون رو به خاطر بسپارین هر چند بار که لازمه بنویسین. نوشتن موجب تثبیت فرمول‌ها در ذهن شما میشه.

پس از اون می‌تونین فرمول‌هایی رو که در کل یاد گرفتین با هم مقایسه کنین و قسمت‌های مشترک اون‌ها رو به خاطر بسپارین. این کار به شما کمک می‌کنه که راحت‌تر فرمول‌ها رو حفظ کرده و به کار ببرید.

محیط و مساحت یکی از مهم‌ترین مباحث در دنیای ریاضیات

در زمینه‌های مختلف مانند ریاضیات، فیزیک، معماری، مهندسی و غیره، محاسبه محیط، مساحت و حجم اشیاء به عنوان یکی از مباحث پایه مطرح میشه.

محیط یک شیء به مجموع طول تمام لبه‌های اون گفته میشه. برای مثال، محیط یک مربع با طول لبه  a، برابره با 4 a، در حالی که محیط یک دایره با شعاع r، برابره با 2πr.

از سوی دیگر، مساحت یک شیء به مقدار فضایی که اون شیء رو پوشانده، گفته میشه. برای مثال، مساحت یک مربع با طول لبه a، برابر با a×a یا a^2 است، در حالی که مساحت یک دایره با شعاع r، برابر با π×r^2 است.

اهمیت یادگیری فرمول محیط و مساحت اشکال هندسی

از مواردی که بر اهمیت فرمول‌های محیط و مساحت اشکال هندسی در دنیای هندسه و ریاضیات اضافه می‌کنه اینه که این دو مفهوم از کاربردی‌ترین و مهم‌ترین مباحث در دنیای ریاضی، زندگی روزمره و سایر علوم هستن.

همچنین باید گفت که دانش آموز بدون یادگیری این فرمول‌ها قادر نیست که این درس رو در مقاطع و پایه‌های بالاتر با موفقیت پشت سر بذاره و نمره خوب و قابل قبولی کسب کنه.

افزایش تمرکز برای یادگیری بهتر فرمول‌ها

داشتن تمرکز باعث میشه که شما فرمول اشکال هندسی رو با سرعت و دقت بیشتری یاد بگیرین. درس ریاضی، یک درس کاملا مفهومیه.

بهتره که شما هنگام یادگیری مباحث، استرس رو از خودتون دور کنین و با تمرکز بیشتری مطالب رو مطالعه کنین.

یادتون باشه برای درک بهتر فرمول‌های ریاضی، ذهن شما باید آماده یادگیری باشه؛ پس به اندازه کافی استراحت کنین و تمام مسائلی که باعث عدم تمرکز شما میشه از خودتون دور کنین.

جمع‌بندی

فرمول‌های مساحت و محیط اشکال هندسی مبحث مهمیه که بیشتر دانش‌آموزان تمایل به یادگیری دقیق اون دارن.

در هر مقطع و پایه‌ای که در حال تحصیل هستین ریاضیات یکی از درس‌های مهم برای شماست و همچنین یادگیری دقیق محیط و مساحت اشکال هندسی نیز از مباحث پر اهمیت در این درسه.

اما برخی اوقات با زیاد شدن حجم دروس و مباحث، این فرمول‌ها به فراموشی سپرده میشن.

ما در این مقاله مساحت اشکال هندسی رو به صورت دقیق بررسی کردیم. شما با مطالعه کامل این مقاله می‌تونین تمام مطالب رو به صورت دقیق یاد بگیرین.

اگه این مقاله براتون مفید بوده، توصیه می‌کنیم فرمول‌های انتگرال رو هم از مقاله «فرمول‌های انتگرال گیری» ما در بلاگ پرش، یاد بگیرین.

اگه مطالعه این مقاله برای شما مفید بوده، توصیه می‌کنیم حتما مقاله «نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم» رو مورد مطالعه قرار بدین تا کاملا در دروس ریاضی، قوی ظاهر بشین.