مبحث اشکال هندسی، مبحثیه که دانش‌آموز رو از همون سال‌های اولیه تحصیل با یادگیری فرمول‌ها درگیر می‌کنه. در واقع میشه گفت مبحث اشکال هندسی یکی از اصلی‌ترین مباحث ریاضیه که همه مسائل مربوط به اون، برای یادگیری درس ریاضی در سال‌های تحصیلی بعد اهمیت زیادی داره.
هر کدوم از اشکال هندسی در دنیای ریاضیات دارای محیط، مساحت و حجم هستن که در این مقاله به اون می‌پردازیم.
عناوین مهمی که در این مقاله می‌خوانیم :
فرمول حجم اشکال هندسی و به خاطر سپردن اون‌ها، یکی از مسائل چالش‌برانگیز برای دانش‌آموزان در مقاطع تحصیلی مختلفه. به طور کلی حجم شکل‌های هندسی، مفهومیه که صرفا برای به دست آوردن اندازه داخلی اشکال هندسی چند بعدی به کار میره.
این مفهوم یکی از مباحث مهم، مثل نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم توی درس ریاضیاته که در کنکور ریاضی هم خیلی حائز اهمیته. در واقع شکل به معنای احاطه شدن یک محیطه. شکل به دو صورت دو بعدی و سه بعدی تعریف میشه و اشکال سه بعدی دارای حجم هستن.
فرمول حجم اشکال هندسی رو می‌تونین در ادامه ببینین و یاد بگیرین:
فرمول حجم کره: چهار سوم × 3.14 × شعاع به توان سه
فرمول حجم مکعب مستطیل: طول × عرض × ارتفاع
فرمول حجم مکعب مربع: قاعده × ارتفاع ( طول یال × مساحت یک وجه)
فرمول حجم هرم: مساحت قاعده ی هرم × ارتفاع هرم × یک سوم
فرمول حجم مخروط: مساحت قاعده × یک سوم × ارتفاع
فرمول حجم استوانه: mr 2 h
فرمول حجم منشور: مساحت قائده × طول
دریافت مشاوره تحصیلی رایگان +
برنامه درسی
توی درس خوندن مشکل داری و به دنبال یک برنامه درسی حرفه‌ای شخصی‌سازی شده هستی؟ مشاورین ما، بهترین راهکار رو برای تو دارن!
فرصت رو از دست نده و برای دریافت یک جلسه
مشاوره رایگان،
شماره تماست رو وارد کن!
منظور از حجم اشکال هندسی چیه؟
حجم شکل‌های هندسی به مقدار فضای اشغال‌شده هر شکل در فضای سه‌بعدی گفته میشه. حجم معمولاً بر حسب واحد مکعب اندازه‌گیری میشه. به عبارت دیگه، حجم هر جسم یا ظرف، ظرفیت ظرف برای نگهداری مقدار سیاله (گاز یا مایع).
حجم اشکال سه‌بعدی مثل مکعب مربع، مکعب مستطیل، استوانه، مخروط، کره، منشور و… رو میشه به راحتی و با استفاده از فرمول‌های ریاضی محاسبه کرد. در حالی که برای پیدا کردن حجم اشکال پیچیده باید از حساب انتگرال استفاده کرد. در این مقاله همه فرمول‌های ریاضی برای محاسبه حجم اشکال هندسی ارائه شده که می‌تونه بهتون توی یادگیری یک‌جای این فرمول‌ها خیلی کمک کنه.
انواع فرمول حجم اشکال هندسی
توجه داشته باشین که برای اشکالی مثل مثلث، مستطیل و… که دارای حجم نیستن معمولا مساحت، محیط و… اون‌ها رو محاسبه می‌کنیم؛ بنابراین باید بگیم که عباراتی مثل فرمول حجم مثلث، فرمول حجم دایره، فرمول حجم ذوزنقه و… تقریبا غلطه و ما باید از فرمول محاسبه حجم مواردی که در ادامه بهشون اشاره شده، آگاه باشیم.
فرمول حجم مکعب مستطیل و مربع
مکعب مستطیل یک شکل هندسیه که شبیه جعبه‌ست. دارای شش وجه مسطحه که همه اون‌ها مستطیل هستن. تمامی زوایای مکعب مستطیل قائمه هستند. مکعب مستطیل یک نوع منشوره که سطح مقطع اون در هر نقطه یک مستطیله.
مکعب مربع یک حالت خاص از مکعب مستطیله که در اون هر سه طول با هم برابرن. در این صورت تمامی وجه‌های مکعب مربع، مربع هستن. مکعب مربع هم یک نوع منشوره که سطح مقطع اون در هر نقطه یک مربعه.
فرمول حجم مکعب مربع
این فرمول، بسته به این که شکل شما مکعب مربع باشه یا مکعب مستطیل، متفاوته. یک مکعب مربع، شکل 3 بعدی داره که از 6 مربع هم اندازه تشکیل شده. در این شکل هر ضلع یک مربع با ضلع مربع دیگر برابره.
اسم دیگه مکعب، شش وجهی منظمه که در هر راس، همه مربع‌های اون 3 ضلع با هم تقاطع دارن. مکعب یکی از 5 جسم افلاطونیه و اگه بعضی وجه‌های اون تغییر کنه به مکعب مستطیل تبدیل میشه. حجم مکعب مربع رو با استفاده از فرمول زیر پیدا می‌کنیم:
فرمول حجم مکعب مربع: قاعده × ارتفاع
فرمول حجم مکعب مستطیل
حجم مکعب مستطیل با اندازه‌گیری فضای کل داخل اون به دست میاد. یک ظرف مستطیلی پر از آب رو تصور کنین. در این حالت، کل مقدار آبی که ظرف می‌تونه توی خودش نگه داره، حجم اونه. مکعب مستطیل، یک چندوجهیه که پایه‌های یکسان، وجوه جانبی مستطیلی مسطح و سطح مقطع یکسانی رو در تمام طولش داره.
یک مکعب مستطیل به عنوان یک شکل سه‌بعدی طبقه‌بندی میشه. این شکل شش وجه داره و تمام وجوه اون مستطیل هستن. بیاید در ادامه فرمول حجم مکعب مستطیل رو با هم یاد بگیریم. با دیدن فرمول زیر، تفاوت فرمول حجم مکعب مستطیل با مکعب مربع رو می‌فهمین:
فرمول حجم مکعب مستطیل: طول × عرض × ارتفاع
فرمول حجم کره
کره در هندسه یک شکل هندسی 3 بعدیه که از مجموع نقاطی تشکیل میشه که در فاصله یکسان از مرکز کره قرار دارن. به این فاصله شعاع کره گفته میشه و به دو برابر شعاع کره هم، قطر. در واقع قطر کره از اتصال دو نقطه‌ای که دورترین فاصله رو از هم دارن به وجود میاد.
مساحت سطح کره با فرمول زیر محاسبه میشه:
S=4πr2
که در اون S مساحت و r شعاع کره‌ست.
که در اون V حجم و r شعاع کره‌ست. بعضی از مثال‌های کره در طبیعت عبارتند از: توپ، حباب، قطره آب، سیاره‌ها و ستاره‌ها.
حجم کره با استفاده از روش زیر به دست میاد:
حجم کره: چهار سوم × 3.14 × شعاع به توان سه
فرمول حجم هرم
یک هرم از 4 مثلث هم راس تشکیل میشه که یک ارتفاع و یک قاعده داره. ارتفاع هرم از راس کشیده میشه و روی قاعده‌اش می‌شینه. قاعده هرم هم یک چند ضلعی دلخواهه. در واقع هرم یک چند وجهیه که اگه قاعده اون مربع باشه بهش هرم مثلث‌القاعده و اگه قاعده‌اش مثلث باشه بهش هرم مربع القاعده گفته میشه.
همینطور در صورتی که قاعده هرم دایره باشه به این شکل مخروط گفته میشه. حجم هرم که بعضیا بهش حجم مکعب مثلث هم میگن، به روش زیر محاسبه میشه:
حجم هرم: مساحت قاعده هرم × ارتفاع هرم× یک سوم
دریافت مشاوره تحصیلی رایگان +
برنامه درسی
توی درس خوندن مشکل داری و به دنبال یک برنامه درسی حرفه‌ای شخصی‌سازی شده هستی؟ مشاورین ما، بهترین راهکار رو برای تو دارن!
فرصت رو از دست نده و برای دریافت یک جلسه
مشاوره رایگان،
شماره تماست رو وارد کن!
فرمول حجم استوانه
استوانه یکی از اشکال هندسی سه بعدی و منحنیه که دور اون از نقاطی تشکیل شده که فاصله یکسانی از یک خط راست در استوانه دارن که محور استوانه نامیده میشه. این شکل دو سر داره که به موازات محور با دو صفحه، در ابتدا و انتهای استوانه محدود میشن.
توی هندسه دیفرانسیل، استوانه رو به این صورت تعریف می‌کنن:
یک سطح که مولد اون یک دسته خط موازیه. به استوانه‌ای که مقطع عرضی اون یک بیضی، سهمی یا هذلولی باشه، به ترتیب استوانه بیضی‌گون، استوانه سهمی‌گون و استوانه هذلولی‌گون میگن. استوانه مشخصات زیر رو داره:
دو سر یک شکل و هم اندازه داره؛
دوسر صاف داره؛
یکی از وجه‌های آن منحنیه؛
شکل چند وجهی به حساب نمیاد؛
از بالا تا پایین یک شکل داره.
حجم استوانه: mr 2 h
فرمول حجم مخروط
مخروط یک شکل هندسی سه بعدی و نوعی از هرمه، با این تفاوت که قاعده اون دایره‌ست. این شکل از سطح تا راس باریک میشه. مخروط می‌تونه به شکل قائم یا اریب باشه. حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص با یک مخروط قائم با همون نسبت و اندازه‌ها یکسانه.
از ویژگی‌های مخروط میشه به موارد زیر اشاره کرد:
نقطه انتهای یک مخروط راس اونه؛
مخروط یک پایه مسطح داره؛
مخروط چند وجهی نیست. چون دارای یک سطح منحنی شکله؛
حجم مخروط به صورت زیر محاسبه میشه:
حجم مخروط: مساحت قاعده × یک سوم × ارتفاع
فرمول حجم منشور
منشور یک چندوجهیه که دو قاعده موازی و یکسان داره که از چندضلعی‌های همنهشت تشکیل شدن. وجوه جانبی منشور همه از متوازی‌الاضلاع‌ها هستن. منشورها رو میشه بر اساس شکل قاعده‌شون مثل مثلثی، مربعی، شش‌ضلعی و غیره دسته‌بندی کرد. منشورها در هندسه فضایی و نوری کاربردهای زیادی دارن. برای مثال، منشورهای مثلثی می‌تونن نور سفید رو به رنگ‌های مختلف تجزیه کنن.
منشور یک شکل چند وجهی با دو قاعده‌ست که توی دو صفحه موازی قرار داره. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌هاشون نام‌گذاری میشن. مثلا به منشور با قاعده مثلثی، سه پهلو گفته میشه. فرمول حجم منشور رو می‌تونین در ادامه ببینین.
حجم منشور: مساحت قائده × طول
دانلود فرمول حجم اشکال هندسی PDF
برای دسترسی آسون و همیشگی شما عزیزان به فرمول حجم اشکال هندسی، گروه آموزشی پرش فایل فرمول حجم اشکال هندسی PDF رو آماده کرده. با استفاده از لینک زیر می‌تونین این فایل رو دانلود کنین و همیشه بهش دسترسی داشته باشین.
مفاهیم نمادهای به کار رفته در محاسبه و فرمول حجم اشکال هندسی
فرمول‌های حجم اشکال هندسی، هر کدوم نمادی دارن که برای درک و به خاطر سپردن اون‌ها بهتره با مفهوم هر کدوم، آشنا بشین. بعضی از مهم‌ترین نمادهای به کار گرفته شده در فرمول محاسبه حجم اشکال هندسی به صورت زیر هستن:
چگونه فرمول حجم انواع اشکال هندسی را به خاطر بسپاریم؟
ممکنه برای خیلی از افراد، یادگیری و به خاطر سپردن فرمول حجم انواع اشکال هندسی، کمی سخت باشه. به همین خاطر می‌خوایم در ادامه مقاله، روش‌هایی رو معرفی کنیم که با به کارگیری اون‌ها میشه فرمول‌های حجم اشکال هندسی رو به خاطر سپرد و از فراموشی‌شون جلوگیری کرد.
اگه فرمول حجم اشکال هندسی مشابه هستن، برای به خاطر سپردن اون‌ها به همین بخش‌های مشابه و مشترک توجه کنین؛
فرمول به دست آوردن حجم اشکال هندسی رو شبیه‌سازی کنین و اجزای اون رو در ذهن خودتون با اشیاء، حیوانات و… جایگزین کنین؛
فقط حفظ کردن کارساز نیست؛ تلاش و تمرکز شما باید روی این موضوع باشه که درک عمیقی از روشی که فرمول ارائه میده، داشته باشین؛
یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی خیلی مهمه. به این خاطر که این فرمول‌ها به ما کمک می‌کنن تا به راحتی حجم اشکال سه بعدی یا چند بعدی رو محاسبه کنیم، که توی خیلی از شغل‌ها و صنایع نیاز به این مهارت وجود داره. علاوه بر این، یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی به افزایش دانش و مهارت‌های ریاضی در خصوص هندسه فضایی کمک می‌کنه و باعث میشه که بتونیم بهتر اشکال سه بعدی و هندسی رو درک کنیم.
به طور کلی، یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی می‌تونه به دانش‌آموزان، دانشجوها و حتی افرادی که در شغل‌های مختلف فعالیت می‌کنن، کمک کنه تا توی خیلی از موارد محاسباتی و عملی ازش استفاده کنن.
کاربرد حجم اشکال هندسی در زندگی روزمره
اگه به اطراف خودتون دقت کنین می‌بینین که دور و بر ما پر از اجسام و اشیایی با اشکال هندسی متفاوت هستن که هر کدوم محیط، مساحت و حجم خودشون رو دارن. به همین خاطر خیلی مهمه که حجم هر کدوم از اون‌ها رو تا حدودی بتونین یاد بگیرین.
مثلا اگه بخواین آشپزی کنین، علاوه بر مواد و دستور پخت باید حجم ظروف رو هم بدونین، یا زمانی که می‌خواین یک زمین بخرین باید به مساحت اون زمین واقف باشین. در زمان قدیم اگه اشخاصی در حال ساختن هرم یا معبدی بودن باید حجم اون رو می‌دونستن که به مقدار مورد نیاز برای تهیه سنگ اقدام کنن.
کاربرد حجم اشکال هندسی در سایر علوم
حجم اشکال هندسی در زمینه‌های مختلف علوم کاربرد دارد، این زمینه‌ها عبارتند از:
ریاضیات: حجم شکل هندسی نشون‌دهنده مقدار فضاییه که توسط اون شکل اشغال شده. مثلا توd محاسبه حجم یک مخروط، از فرمول V = (1/3) × π × r² × h استفاده میشه.
فیزیک: حجم شکل‌های هندسی در فیزیک خیلی مهمه. مثلا، توی محاسبه جرم یک جسم، معمولا حجم اون هم نقش داره. همینطور در محاسبه قدرت و شدت میدان الکتریکی و مغناطیسی هم از حجم شکل هندسی استفاده میشه.
شیمی: توی شیمی، حجم شکل هندسی نشون‌دهنده مقدار فضاییه که توسط یک ماده اشغال شده. مثلا، در محاسبه حجم یک ماده، برای محاسبه غلظت اون برای تولید علائم و شناسایی مواد هم کاربرد داره.
مهندسی: در مهندسی، حجم اشکال هندسی برای محاسبه خصوصیات فضایی مختلف مورد استفاده قرار می‌گیره. به عنوان مثال، توی طراحی ساختمون‌ها، محاسبه حجم بتن و فولاد که برای ساخت ساختمون استفاده میشه، خیلی مهمه.
پزشکی: توی پزشکی، حجم اشکال هندسی برای محاسبه حجم سلول‌ها و بافت‌ها مورد استفاده قرار می‌گیره. همینطور در محاسبه دوز داروها و رادیوتراپی هم از حجم شکل هندسی استفاده میشه.
نحوه یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی در کوتاه‌ترین زمان
اکثر دانش‌آموزان تمایل دارن که با بهترین روش درس خواندن آشنا شون؛ به همین دلیل ما در این قسمت به بررسی نکات کلیدی این موضوع می‌پردازیم. به طور کلی، برای یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی بهتره از روش‌های تصویری و کاربردی استفاده کنین. مثلا:
قبل از شروع به یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی، بهتره با خوندن درباره انواع اشکال هندسی آشنا بشین. مثلا، مربع، مستطیل، مثلث، مخروط، کره.
برای هر شکل هندسی، فرمول حجم رو بخونین و اون رو بارها بنویسین. سعی کنین به جای حفظ فرمول‌ها، اون‌ها رو درک کنین.
از منابع تصویری مثل ویدئوها و تصاویر برای یادگیری استفاده کنین. فیلم‌های آموزشی و تصاویر به شما در درک بهتر مفهوم کمک می‌کنن.
برای تمرین، سوالات پرسیده شده رو با استفاده از فرمول‌های حجم حل کنین.
اگه ممکنه، فرمول‌ها رو با توجه به نحوه استفاده ازشون در واقعیت یاد بگیرین. مثلا، با اندازه‌گیری‌های یک مجسمه چهارضلعی به دست آوردن حجم یک جعبه رو تجربه کنین.
در نهایت، تمرین و تمرین و تمرین کنین. سعی کنین مسائل زیادی رو حل کنین تا درکتون رو از فرمول حجم اشکال هندسی بالا ببرین.
هر جسم سه‌بعدی فضایی رو اشغال می‌کنه. این فضا بر حسب حجم اون اندازه گیری میشه. حجم اشکال هندسی، به عنوان فضای اشغال شده در محدوده اون جسم، در فضای سه‌بعدی تعریف میشه. همینطور به عنوان ظرفیت جسم هم شناخته میشه.
با استفاده از فرمول حجم، میشه مقدار مورد نیاز برای پر کردن یک جسم رو تعیین کرد، مثل مقدار آب مورد نیاز برای پر کردن یک بطری، یک آکواریوم یا یک مخزن آب. به طور کلی اندازه گیری با استفاده از فرمول حجم اشکال هندسی و از طریق محیط، مساحت و حجم انجام میشه.
هر کدوم از این مفاهیم در مورد اشکال هندسی دو بعدی و سه بعدی، فرمول متفاوتی دارن که فرمول‌های اشکال هندسی سه بعدی رو توی این مقاله ذکر کردیم.
سلام بسیار مفید بود ممنون
سلام. ممنون از شما که وقت گذاشتین مطالعه کردین🙏🏻